?

Log in

Математическое исскусство [entries|archive|friends|userinfo]
Math Art

[ website | Math Art ВКонтакте ]
[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

(no subject) [Nov. 28th, 2012|12:16 am]
Math Art

holo_coast
[Tags|, , ]

Задачка для внимательных: найти невозможную фигуру
belvedere

ОтветCollapse )
LinkLeave a comment

Невозможные фигуры [Nov. 27th, 2012|11:54 pm]
Math Art

holo_coast
[Tags|, , ]

Невозможная фигура — один из видов оптических иллюзий. На первый взгляд такая фигура кажется проекцией обычного трёхмерного объекта, но при внимательном рассмотрении которой становятся видны противоречивые соединения элементов фигуры. Создаётся иллюзия существования такой фигуры в трёхмерном пространстве.

ps8_4

Настоящую известность невозможные фигуры обрели, когда их изобразил на своих литографиях голландский художник Эшер, дав начало новому направлению искусства имп-арту (impossible art), нацеленному на изображение таких фигур:

waterfall
Waterfall

relativity
Relativity

house_of_stairs
House of stairs

high_and_low
High and low

convex_and_concave
Convex and concave

ascending_and_descending
Ascending and descending
LinkLeave a comment

Стереометрическая книжка-алфавит [Nov. 27th, 2012|11:38 pm]
Math Art

holo_coast
LinkLeave a comment

Платоновы тела [Nov. 27th, 2012|11:31 pm]
Math Art

holo_coast
[Tags|, ]

Правильный многогранник, или платоново тело — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.

Таких многогранников всего пять:
- тетраэдр (4 грани)
- гексаэдр или куб (6 граней)
- октаэдр (8 граней)
- додекаэдр (12 граней)
- икосаэдр (20 граней)

platonTela

Собрать икосаэдр при помощи неокуба:
LinkLeave a comment

(no subject) [Nov. 27th, 2012|11:24 pm]
Math Art

holo_coast
[Tags|, ]

RogerPenroseTileTAMU2010
Фото: Роджер Пенроуз стоит на полу, покрытом мозаикой Пенроуза

В конце 70-х годов ХХ века Роджер Пенроуз, физик-теоретик из Оксфордского университета, разработал алгоритмы заполнения бесконечной плоскости без пустот и перекрытий фигурами всего двух видов.

Пенроуз долгое время интересовался проблемой «замощения» плоскости фигурами одной формы без зазоров и перекрываний. Задача решается замощением фигурами, создающими периодически повторяющийся рисунок, но Пенроуз хотел отыскать именно такую фигуру, которая при замощении плоскости не создавала бы повторяющихся узоров (cчиталось, что нет таких плиток, из которых строились бы только непериодические мозаики). Он подбирал множество плиток различной формы, в итоге их оказалось только две, имеющих "золотое сечение", которое лежит в основе всех гармоничных соотношений. Это фигуры ромбовидной формы с углами 108° и 72°. Позже фигуры упростились до формы просто ромба (36° и 144°), в основе лежит принцип "золотого треугольника". Получившиеся узоры имеют квазикристаллическую форму, которая имеет осевую симметрию 5-го порядка. Структура мозаики связана с последовательностью Фибоначчи.

мозаика Пенроуза

Так, мозаика Пенроуза представляет собой узор, собранный из многоугольных плиток двух определённых форм (немного различающихся ромбов). Ими можно замостить бесконечную плоскость без пробелов.

Получающееся изображение выглядит так, будто является неким "ритмическим" орнаментом – картинкой, обладающей трансляционной симметрией. Такой тип симметрии означает, что в узоре можно выбрать определённый кусочек, который можно "копировать" на плоскости, а затем совмещать эти "дубликаты" друг с другом параллельным переносом.

Однако, если присмотреться, можно узреть, что в узоре Пенроуза нет таких повторяющихся структур – он апериодичен. Но дело отнюдь не в оптическом обмане, а в том, что мозаика не хаотична: она обладает вращательной симметрией пятого порядка. Это значит, что изображение можно поворачивать на минимальный угол, равный 360 / n градусам, где n – порядок симметрии, в данном случае n = 5. Следовательно, угол поворота, который ничего не меняет, должен быть кратен 360 / 5 = 72 градусам.

Примерно десятилетие выдумка Пенроуза считалась не более чем милой математической абстракцией. Однако в 1984 году Дэн Шехтман (Dan Shechtman), профессор израильского технологического института (Technion), занимаясь изучением строения алюминиево-магниевого сплава, обнаружил, что на атомной решётке этого вещества происходит дифракция.

Предыдущие представления, существовавшие в физике твёрдого тела, исключали такую возможность: структура дифракционной картины обладает симметрией пятого порядка. Её части нельзя совмещать параллельным переносом, а значит, это вовсе никакой не кристалл. Но дифракция характерна как раз для кристаллической решётки! Учёные договорились о том, что данный вариант будет назваться квазикристаллами – чем-то вроде особого состояния вещества. Ну а вся красота открытия в том, что для него уже давно была готова математическая модель - мозаика Пенроуза.

А совсем недавно стало понятно, что этой математической конструкции намного больше лет, чем можно было себе представить. В 2007 году Питер Лу (Peter J. Lu), физик из Гарварда (Harvard University) за компанию с другим физиком — Полом Стейнхардтом (Paul J. Steinhardt), но из Принстона (Princeton University), — опубликовал в Science статью, посвящённую мозаикам Пенроуза. Казалось бы, неожиданного тут немного: открытие квазикристаллов привлекло живой интерес к данной теме, что привело к появлению кучи публикаций в научной прессе.

Однако изюминка работы в том, что она посвящена далеко не современной науке. Да и вообще — не науке. Питер Лу обратил внимание на узоры, покрывающие мечети в Азии, построенные ещё в Средневековье. Эти легко узнаваемые рисунки сделаны из мозаичной плитки. Они называются гирихи (от арабского слова "узел") и представляют собой геометрический орнамент, характерный для исламского искусства и состоящий из многоугольных фигур.

Источник: http://www.artfigure.ru/view_articles.php?id=21
LinkLeave a comment

Снежинка Коха [Nov. 27th, 2012|11:05 pm]
Math Art

holo_coast
[Tags|, ]

Кривая Коха — геометрический фрактал, описанный в 1904 году шведским математиком Хельге фон Кохом. Три копии кривой Коха, построенные остриями наружу на сторонах правильного треугольника образуют замкнутую кривую, называемую снежинкой Коха.


снежинка Коха
Начертить кривую Коха очень просто. Берем единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырех звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев.



Снежинка Коха2
LinkLeave a comment

Эшер [Nov. 27th, 2012|10:57 pm]
Math Art

holo_coast
[Tags|, , , ]

Мориц Корнелис Эшер — нидерландский художник-график. Создавал уникальные работы, используя широкий круг математических идей. Исследовал пластические аспекты понятий бесконечности и симметрии, особенности психологического восприятия сложных трехмерных объектов.

В процессе своей работы он черпал идеи из математических статьей, в которых рассказывалось о мозаичном разбиении плоскости, проецировании трехмерных фигур на плоскость и неевклидовой геометрии. Он был очарован всевозможными парадоксами и в том числе "невозможными фигурами".

circle_limit_IV

circle_limit_I
LinkLeave a comment

navigation
[ viewing | most recent entries ]